نمذجة نظم التحكم الكلاسيكى (أمثلة وحلول)

مثال 3، أوجد دالة التحويل لنظام دائرة المكثف والملف والمقاومة (L-R-C) ، خرج الدائرة على طرفى المكثف C

الحل

من قانون كيرشوف للجهد

V_In= i(t) R + Ldi(t)/dt + V_c(t)      (1)

I(t) = cdv_c(t)/dt                             (2)

بالتعويض من (2) فى (1)

V_in = Rc dv_c(t)/dt  + LCd²v_c(t)/d²t + V_c(t)                (3)

معادلة (3) معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية وجميع معاملاتها مقادير ثابتة (نظام ديناميكى خطى) بتحويل المعادلة إلى دالة فى المجال الترددى (S) بقواعد لابلاس (المشتقة من الدرجة الثانية تحويلها = S²  ، والأولى = S )

نحصل على الدالة

V_in(s) = LC S² V_c(s) + RC S V_c(t) + V_c(t)                    (4)

V_in(S) = (LCS² + RCS + 1) V_c(t)                                (5)

ومن الدالة فى (S) نحصل على دالة التحويل V_c(S)/V_in(S)

G(S) = V_in(S)/V_c(S) = 1 / (LCS² + RC S + 1)

G(S) = 1/LC /(S² +R/L S + 1/LC)

المقام لدالة التحويل من الدرجة الثانية أى للنظام قطبين (2 Pole)

لاحظ فى ش (3) أثر إضافة الملف لدائرة RC وظهور القفزة (Over Shoot) والتى ستكون أقرب إلى الاستيعاب فى النظام الميكانيكى  نوضحه فى القادم من محاضرات وأمثلة على دوال التحويل