أمثلة على نمذجة نظم التحكم وتحليلها

أمثلة على نمذجة نظم التحكم وتحليلها

دائرة RC

بالنظر إلى دائرة المكثف والمقاومة من منظور نظام تحكمى يكون جهد البطارية دخل للنظام v_in  وجهد المكثف v_c هو خرج النظام والشكل ش(1) يمثل النموذج الطبيعى للنظام موضحا تفاصيل مكوناته وعلاقتها ببعضها ونسقها فيما بينها ، أما ش(2) فهو التمثيل الصندوقى للنظام بصندوق يحوى بداخله معامل التكبير للنظام (K) بسهم داخل يعبر عن الدخل v_in  وآخر خارج يعبر عن الخرج v_c .

ما هو سلوك النظام بتطبيق دالة الخطوة (الصعدة) Step Function والمعنى بها تغير مفاجىء من صفر قبل لحظة التطبيق إلى قيمة ثابتة (جهد البطارية) بعد لحظة الصفر ، ووصفها الرياضى

V_in = 0   t˂0 ،  =V_s   t>0

ماهو سلوك النظام وديناميكيته فى الزمن ما بين الصفر واستقراره بوصول شحنة المكثف إلى v_s ؟

هنا نحتاج للمستوى الثالث من التعامل مع النظام الموضح فى Flow Chart وهو المعادلة الرياضية للنظام

و تحكم سلوكه سواءا فى زمن دينامكيته أو زمن استقراره  والتى تستنتج من قانون كيرشوف لجهود الدائرة المغلقة

المعادلة الرياضية للنظام

فى ش(1) وقد فعلنا مفتاح التوصيل يمر تيار فى الدائرة i(t)  وهو نفسه تيار شحن المكثف أى أن

I(t) = c  dv_c/dt                       (1)

من قانون كيرشوف

V_in = v_r + v_c

V_in= i(t) R + v_c                          (2)

بالتعويض من (1)  فى (2)

V_in = RCdv_c(t)/dt + v_c(t)          (3)

المعادلة (3) معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى وتمثل نظام خطى للأسباب الآتية :-

معامل المشتقة الأولى (RC) كمية ثابتة

الشروط الابتدائية للمتغير v_c عند الزمن صفر يساوى صفر

المستوى الرابع (المعادلة الفاضلية فى تحويل لابلاس)

من قواعد التحويل للبلاس

L[df(t)/dt]=  S f(t)                   فتصبح المعادلة (3) بتحويل لابلاس

V_in(S) = RC S v_c(s) + v_c(s) =( RCS +1)v_c(s)           (4)

المستوى الخامس (دالة التحويل G(S) )

من (4)

G(s) = v_c(S)/V_in(S) = 1 /(RCS +1)                 (5)

وتُمثل دالة تحويل النظام بالشكل ش(4) وبداخلة الدالة

فى مثالنا نلاحظ  دالة التحويل (Transfer Function) (G(S) تحتوى على قطب Pole عند قيمة

S = -1/RC

وفى مرحلة متقدمة من دراسة نظرية التحكم نعلم ماذا تعنى الأقطاب والأصفار فى دالة تحويل النظام ومدى تأثيرها على استقراره

عودة بالنظام إلى المجال الزمنى لنرى ديناميكية النظام أى سلوكه مع الزمن  فنستدعى المعادلة رقم (4) ونلك معادلة تفاضلية فى الزمن حلها اختصارا

V_c = V_in(1- e^-t/rc)           (6

RC

مقداريعبر عن زمن    وهو زمن وصول شحنة المكثف إلى 63% من جهد المصدر الدخل يسمى الثابت الزمنى (تاو) Ƭ

وهو خاصية تُعرف بها دائرة ال RC ويصل المكثف إلى كامل الشحنة   وحالة استقرار النظام بعد زمن قدرة 5RC sec . ويصف المنحنى فى ش(4) سلوك النظام شحنا للمكثف

أما عن التيار فحل معادلته

I(t) = V_in/R × e^-t/rc

فهو يبدأ بأقصى قيمة له V_in/R ليتناقص أسيا فيهبط 37% من قيمته عند زمن يساوى  RC

وبالتحليل الرياضى للنظام فى المجال الزمنى علمنا تفاصيل ديناميكيته

دائرة المكثف والمقاومة فى حال اعتبار جهد المكثف هو جهد الخرج تمثل مرشح ترددى يسمح بمرور التردد المنخفض (L.P.F) ونتناول كيف تكون الدائرة فى حال مرشح التردد العالية (H.P.F)