نمذجة نظم التحكم الكلاسيكى ودالة التحويل (المثال الرابع)

نمذجة نظم التحكم الكلاسيك (المثال الرابع)

لو أخرجنا مكعب زبد من الثلاجة فى درجة الصفر مئوية إلى درجة حرارة الجو كم من الوقت يمر حتى ترتفع درجة حرارته من صفر إلى درجة حرارة الجو ؟ وكيف تمر العملية ؟ وشكل الانتقال الحرارى ؟

الإجابة فى دالة تحويل النظام

منعا للبس بين رمز الزمن (t) ورمز الحرارة المشابة سنتخذ الحرف q رمزا لدرجة الحرارة وبفرض أن :-

• حرارة الجو q_s وتمثل طبعا الدخل كما فى النموذج الصندوقى
• حرارة مكعب الزبد q_f وتمثل الخرج

من قوانين الدينا ميكا الحرارية الانتقال الحرارى من الجو المحيط إلى مكعب الزبد يتوقف على :-

• فرق درجتى الحرارة ((q_s -q_f)
• مساحة سطح مكعب الزبد ِA
• معامل الانتقال الحرارى g

كمية الحرارة المنتقلة (H)

 (H = Ag(q_s-q_f)                (1

وكمية الحرارة عند أى وقت تساوى

(H = ρCV dq_f(t)/dt             (2

ρ   الكثافة لمكعب الزبد ، c الحرارة النوعية للزبد،  V حجم مكعب الزبد

من (1) ، (2)

(ρCV dqf(t)/dt = Ag(qs-qf

 

(ρCV dqf(t)/dt = Ag q_s – Ag q_f(t

 

(ρCV dqf(t)/dt + Ag qf(t) = Agq_s           (3

المعادلة (3) معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى وبتحويلها من المجال الزمنى إلى المجال الترددى المعقد بقواعد لابلاس والتى منهاdt]= s     /L[dF(t)

تصبح المعادلة التفاضليىة بتحويل لابلاس

( ρCS + Ag) q_f(S) = Ag q_s(S)        (4

(G (s) = q_f(S)/q_s(s)= Ag/ ( ρCVS + Ag

 

[G (s)= 1/[(ρCV/Ag)s +1

ρCV/Ag= Ƭ     (ثابت زمنى الدالة )

 

(G (s) = 1/(ƬS +1)               (5

 

لاحظ  أن دالة تحويل النظام هى نفسها دالة تحويل المكثف والمقاومة فى حال الخرج على المكثف وأن المقدار ρC/Ag= Ƭ    هو الثابت الزمنى وبالتحويل العكسى من لابلاس كدالة فى التردد إلى معادلة فى المجال الزمنى

وبفرض أن دالة الدخل دالة خطوة من قيمة 0 عند أقل من الصفر الزمنى وقيمة 20 درجةحرارية عند الزمن أكبر من الصفر فتكون المعادلة الزمنية

( q_f(t) =  20(1- e^-t/Ƭ 

 

والممثل فى المنحنى الأسى ش(1) ، ولو أن الثابت الزمنى 10 دقائق مثلا محسوبا من قيم كلها معروفة أو يمكن قياسها وهو  الزمن الذى عنده تصل درجة حرارة الزبد إلى 63% من درجة حرارة الجو وعند هذا الزمن تصل حرارة مكعب الزبد إلى 13.6 درجة مئويه وتحتاج إلى 5 أضعاف الثابت الزمنى أى خمسون دقيقة لتصل إلى درجة حرارة الغرفة

أنظر من المثال كيف كشفت النمذجة الرياضية عن خبيئة  ديناميكية النظام وأصبح كتابا مفتوحا يُقرأ وعلمنا درجة حرارة مكعب الزبد عند أى زمن فى الفترة من الصفر إلى حتى وصوله إلى درجة حرارة الجو بعد خمسون دقيقة

ولا تندهش لتماثل شحن المكثف بالكهرباء مع شحن مكعب الزبد بالحرارة فالنظم وإن تعددت طبيعتها فهى أداة لتبادل الطاقات كهربية كانت أو حرارية أو كيميائية  أو مغناطيسة وأخرى وسنرى فى القادم النمذجة لنظام ميكانيكى